Pari du chevalier de Méré

Extrait du Journal électronique d’Histoire des probabilités et de la statistique (novembre 2006), dans un article du mathématicien Georg Cantor écrit en 1873, on retrouve le problème dit du " pari du chevalier de Méré " qui s’opposait à tort à Fermat et à Pascal sur un sujet de probabilité contre-intuitif (voir autres exemples dans le chapitre 10 de mon livre, " Incertaines probabilités ") :

• Pari 1 : Si l’on jette 4 fois un dé à six faces, il y a plus de chances qu’on obtienne un 6 plutôt qu’on n’en obtienne pas.
• Pari 2 : Si l’on jette 24 fois deux dés à six faces, Méré pensait qu’il y avait aussi plus de chances qu’on obtienne un double six plutôt qu’on n’en obtienne pas.

Méré pensait que le rapport 4/6 (4 lancers, 6 possibilités) du pari 1, supérieur à ½, déterminait une probabilité supérieure à ½, et donc la probabilité plus forte d’obtenir un 6 (ou n’importe quel autre nombre) que ne pas en obtenir ; il en déduisait, dans le pari 2, en faisant intervenir le même rapport 24/36 (24 lancers, 36 possibilités) = 4/6, que la probabilité était plus forte d’obtenir un double six que ne pas en obtenir. Méré arrivait dans le pari 1 à un résultat correct avec un raisonnement incorrect ; dans le pari 2, le résultat de Méré était erroné.

On a en effet :

Pour le pari 1, une probabilité P₁ = 1 – (5/6)⁴ = 0, 518 ; probabilité légèrement supérieure à ½ (on a plus de chances d’obtenir un 6 que ne pas en obtenir) Comme dans les dates d’anniversaires (chapitre 10), (5/6)⁴ mesure la probabilité de ne pas obtenir un nombre donné, par exemple le 6, pendant quatre fois de suite.

Pour le pari 2, une probabilité P₂ = 1 – (35/36)²⁴ = 0, 492 ; probabilité légèrement inférieure à ½ (on a moins de chances d’obtenir un double 6 que ne pas en obtenir)

(pour ceux qui souhaitent aller plus loin, ou plus en amont dans le temps, j'ai mis en commentaire le texte original de la lettre de 1654 de Pascal à Fermat mentionnant le pari faussé de Méré)

Comments

[Guimier Françoise]

Bonjour,


A propos du premier pari du chevalier de Méré, savez vous d'où provient ce "comme de 671 à 625" (qui est d'ailleurs plus souvent cité "comme de 675 à 625") qui apparaît dan la lettre de Pascal à
Fermat ?


 


Merci si vous pouvez éclairer ma lanterne


FG

[Alexandre Moatti]

671 à 625 représente le 0,518 dont je parle dans le billet : 671/ (671 + 625) = 0,518. A.M.


Ajout du lendemain : et 625 = 5 puissance 4, et (625 + 671) = 1296 = 6 puissance 4. Voir ci-dessus la valeur de la probabilité. A.M.

[Thomas]

*envie de savoir

[Thomas]

Ce qui m'impressionera toujours, c'est la puissance de calcul de nos ancêtres scientifiques...Il fallait quand même avoir TRÈS envie ce qui était le plus favorable entre tirer un double six ou ne pas en tirer parmi 24 lancer pour se peler le calcul de 36 puissance 24...Non ?

[AlexM]

Extrait de la lettre du 29 juillet 1654 de Pascal à Fermat, mentionnant le problème du chevalier de Méré:

Je n'ai pas eu le temps de vous envoyer la démonstration d'une difficulté qui étonnait fort M.  de Méré, car il a très bon esprit, mais il n'est pas géomètre (c'est, comme vous savez, un grand défaut) et même il ne comprend pas qu'une ligne mathématique soit divisible à l'infini et croit fort bien entendre qu'elle est composée de points en nombre fini, et je n'ai jamais pu l'en tirer. Si vous pouviez le faire, on le rendrait parfait.
Il me disait donc qu'il avait trouvé fausseté dans les nombres par cette raison :
Si on entreprend de faire un six avec un dé, il y a avantage de l'entreprendre en 4, comme de 671 à 625.
Si on entreprend de faire Sonnez avec deux dés, il y a désavantage de l'entreprendre en 24.
Et néanmoins 24 est à 36 (qui est le nombre des faces de deux dés) comme 4 à 6 (qui est le nombre des faces d'un dé).
Voilà quel était son grand scandale qui lui faisait dire hautement que les propositions n'étaient pas constantes et que l'arithmétique se démentait : mais vous en verrez bien aisément la raison par les principes où vous êtes.

[Muriel Bastien]

Bonjour,Maman de deux garçons au lycée Louis-le-Grand, je découvre votre blog. Trés honnêtement, je vais plutôt le recommander à ma progéniture ainsi qu'à leur bien-aimé géniteur...Cela dit, l'une de vos nombreuses activités me touche de bien plus près. Mémoire, sciences et résistance...Le petit grand monde de LLG a-t-il déjà eu l'honneur de votre visite officielle ? Dans la négative, seriez-vous intéressé pour que nous organisions quelque chose comme une rencontre, une conférence, un débat ? Merci à vous,Muriel Bastien-Rambach. Membre de l'association FCPE rue Saint-Jacques

[A.M.]

Pour ajoûter un complément à mon post:Méré devait penser que les chances d'obtenir un six s'ajoutaient à chaque fois 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 = 4 chances sur 6 d'obtenir un six au cours du pari 1, ou un double six au cours du pari 2.La notion de probabilités indépendantes multiplicatives 5/6 * 5/6.... était balbutiante à l'époque.Alexandre Moatti